Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse (c). Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Von einem Winkel α aus gesehen ist die gegenüberliegende Kathete die Gegenkathete (a) und die anliegende die Ankathete (b).
- sin α = Gegenkathete ÷ Hypotenuse = a ÷ c
- cos α = Ankathete ÷ Hypotenuse = b ÷ c
- tan α = Gegenkathete ÷ Ankathete = a ÷ b
Eine Merkhilfe ist „GAGA HummelHummel AHA“: sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A.
Beispiel: Für α = 30° gilt sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,8660 und tan 30° ≈ 0,5774. Das ist die Voreinstellung im Rechner oben. Im Modus Dreieck sind die Katheten 3 und 4 vorgegeben: Die Hypotenuse ist √(9 + 16) = 5, und α = arctan(3 ÷ 4) ≈ 36,8699°.
Grad und Bogenmaß umrechnen
Ein Vollkreis hat 360° oder 2π im Bogenmaß. Deshalb gilt: Bogenmaß = Grad × π ÷ 180 und Grad = Bogenmaß × 180 ÷ π. 1 rad sind etwa 57,2958°. Taschenrechner und Programmiersprachen wie JavaScript oder Excel rechnen meist im Bogenmaß. Wenn sin(30) dort −0,988 ergibt, wurde 30 als Bogenmaß verstanden. Der Rechner zeigt immer beide Angaben.
| Winkel | Bogenmaß | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 ≈ 0,8660 | √3/3 ≈ 0,5774 |
| 45° | π/4 | √2/2 ≈ 0,7071 | √2/2 ≈ 0,7071 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 ≈ 0,8660 | 1/2 | √3 ≈ 1,7321 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | nicht definiert |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
Winkel aus einem Seitenverhältnis bestimmen
Kennst du das Verhältnis, suchst du den Winkel mit der Umkehrfunktion: arcsin, arccos oder arctan (auf Taschenrechnern sin−1 usw.). Eine Rampe, die auf 4 m Länge 0,5 m ansteigt, hat den Steigungswinkel arctan(0,5 ÷ 4) ≈ 7,13°. Für arcsin und arccos muss der Wert zwischen −1 und 1 liegen, weil Sinus und Kosinus nie größer als 1 werden. Die Umkehrfunktionen liefern jeweils nur einen Hauptwert: arcsin zwischen −90° und 90°, arccos zwischen 0° und 180°.
So löst der Rechner ein rechtwinkliges Dreieck
Mit zwei Angaben, darunter mindestens eine Seite, ist ein rechtwinkliges Dreieck eindeutig bestimmt. Sind zwei Seiten bekannt, liefert der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) die dritte, die Winkel folgen über arctan oder arcsin. Ist eine Seite und der Winkel α bekannt, ergeben sich die anderen Seiten über sin, cos und tan. Der zweite spitze Winkel ist immer β = 90° − α. Für reine Seitenberechnungen ohne Winkel gibt es den Pythagoras-Rechner.
Praktische Anwendungen
Dachneigung, Treppensteigung, die Höhe eines Baums aus Entfernung und Blickwinkel oder die Länge einer Leiter: Überall steckt ein rechtwinkliges Dreieck. Stehst du 20 m vom Baum entfernt und siehst die Spitze unter 35°, ist er etwa 20 × tan 35° ≈ 14,0 m höher als deine Augenhöhe.
Häufige Fragen
Wie berechne ich den Sinus eines Winkels?
Im rechtwinkligen Dreieck: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse. Für beliebige Winkel liefert der Rechner den Wert direkt, zum Beispiel sin 30° = 0,5.
Warum zeigt mein Taschenrechner einen falschen Sinus?
Wahrscheinlich steht er auf Bogenmaß (RAD) statt Grad (DEG). sin(30) im Bogenmaß ist etwa −0,988.
Warum ist tan 90° nicht definiert?
tan = sin ÷ cos, und cos 90° ist 0. Durch null kann man nicht teilen.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?
Grad mal π geteilt durch 180. 90° sind π/2 ≈ 1,5708 rad.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
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