Der Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
a² + b² = c²
Die Katheten a und b sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite. Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke; für andere Dreiecke brauchst du den Kosinussatz.
Beispiel (Voreinstellung): a = 3 und b = 4. Dann ist c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 und c = √25 = 5. Die Winkel betragen α ≈ 36,87° und β ≈ 53,13°, die Fläche ist 3 × 4 ÷ 2 = 6.
Kathete berechnen
Suchst du eine Kathete, stellst du die Formel um: a = √(c² − b²). Bei c = 13 und b = 5 ist a = √(169 − 25) = √144 = 12. Die Hypotenuse muss dabei größer sein als die bekannte Kathete, sonst gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Maßen.
Pythagoreische Tripel
Manche Dreiecke haben ganzzahlige Seiten. Solche Zahlentripel sind praktisch zum Kopfrechnen und zum Prüfen auf der Baustelle. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eines (6, 8, 10 oder 30, 40, 50).
| a | b | c | Probe |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
Rechter Winkel auf der Baustelle: die 3-4-5-Regel
Handwerker prüfen rechte Winkel mit dem Tripel 3, 4, 5: Auf der einen Seite 3 m (oder 30 cm) abmessen, auf der anderen 4 m. Beträgt die Diagonale zwischen den Markierungen genau 5 m, ist die Ecke rechtwinklig. Für größere Flächen nimmst du ein Vielfaches wie 6, 8, 10.
Weitere Anwendungen
- Bildschirmdiagonale: Ein Display mit 52 cm Breite und 29 cm Höhe hat eine Diagonale von √(52² + 29²) ≈ 59,5 cm, also etwa 23,4 Zoll.
- Leiter an der Wand: Eine 5 m lange Leiter, deren Fuß 1,5 m von der Wand entfernt steht, reicht √(25 − 2,25) ≈ 4,77 m hoch.
- Diagonale im Raum: Ein Zimmer mit 4,5 × 3,8 m hat eine Bodendiagonale von etwa 5,89 m. Die Fläche selbst liefert der Quadratmeter-Rechner.
Winkel, Höhe und Fläche
Zusätzlich zeigt der Rechner die beiden spitzen Winkel (α liegt gegenüber a, β gegenüber b; zusammen ergeben sie 90°), die Fläche a × b ÷ 2, den Umfang a + b + c und die Höhe auf die Hypotenuse h = a × b ÷ c. Die Wurzel selbst kannst du im Wurzel-Rechner nachvollziehen.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Hypotenuse?
c = √(a² + b²). Bei a = 3 und b = 4 ist c = √25 = 5.
Wie berechne ich eine Kathete?
a = √(c² − b²). Bei c = 13 und b = 5 ist a = √144 = 12.
Gilt der Satz des Pythagoras für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige Dreiecke. Für beliebige Dreiecke gilt der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab × cos γ.
Welche Seite ist die Hypotenuse?
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
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