Was bedeutet Wurzelziehen?
Die Quadratwurzel aus einer Zahl x ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. √49 = 7, weil 7 × 7 = 49. Allgemein ist die n-te Wurzel die Umkehrung der n-ten Potenz: ⁿ√x = y genau dann, wenn yⁿ = x. Statt mit Wurzelzeichen kannst du auch mit Potenzen schreiben: ⁿ√x = x^(1/n). Das hilft, wenn dein Taschenrechner keine eigene Taste für die n-te Wurzel hat.
Beispiel (Voreinstellung): √50 ≈ 7,07106781. Weil 50 = 25 × 2 und 25 eine Quadratzahl ist, lässt sich die Wurzel teilweise ziehen: √50 = √25 × √2 = 5·√2. Probe: 7,07106781² ≈ 50.
Teilweise Wurzelziehen (Wurzel vereinfachen)
In der Schule wird oft verlangt, Wurzeln so weit wie möglich zu vereinfachen. Dafür zerlegst du den Radikanden in einen Faktor, der eine perfekte Potenz ist, und einen Rest. Der Rechner sucht bei ganzen Zahlen automatisch den größten solchen Faktor:
- √72 = √(36 × 2) = 6·√2
- √200 = √(100 × 2) = 10·√2
- ³√54 = ³√(27 × 2) = 3·³√2
- ⁴√48 = ⁴√(16 × 3) = 2·⁴√3
Wurzeln aus negativen Zahlen
Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gibt es in den reellen Zahlen nicht, denn jede Zahl mal sich selbst ist positiv oder null. Das gilt für alle geraden Wurzelexponenten. Ungerade Wurzeln funktionieren dagegen: ³√(−8) = −2, weil (−2)³ = −8. Der Rechner gibt für gerade Exponenten und negative Radikanden einen Hinweis aus; Lösungen mit komplexen Zahlen berechnet er nicht.
Quadratzahlen und ihre Wurzeln
| n | n² | n³ | √n | ³√n |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 1,4142 | 1,2599 |
| 3 | 9 | 27 | 1,7321 | 1,4422 |
| 5 | 25 | 125 | 2,2361 | 1,7100 |
| 10 | 100 | 1.000 | 3,1623 | 2,1544 |
| 12 | 144 | 1.728 | 3,4641 | 2,2894 |
| 20 | 400 | 8.000 | 4,4721 | 2,7144 |
| 50 | 2.500 | 125.000 | 7,0711 | 3,6840 |
| 100 | 10.000 | 1.000.000 | 10,0000 | 4,6416 |
Wurzel ohne Taschenrechner schätzen
Suche die beiden Quadratzahlen, zwischen denen dein Radikand liegt. 50 liegt zwischen 49 (7²) und 64 (8²), sehr nah an 49. Die Wurzel ist also etwas größer als 7. Eine gute Näherung liefert das Heron-Verfahren: Starte mit einem Schätzwert s und rechne s neu = (s + x ÷ s) ÷ 2. Mit s = 7 ergibt sich (7 + 50 ÷ 7) ÷ 2 = 7,0714, schon auf drei Nachkommastellen genau. Jeder weitere Schritt verdoppelt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen.
Wurzeln in Formeln
Wurzeln stecken in vielen Alltagsformeln: Die Seitenlänge eines Quadrats mit 30 m² Fläche ist √30 ≈ 5,48 m, die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck berechnest du mit dem Pythagoras-Rechner, und den Radius eines Kreises aus seiner Fläche mit dem Kreisrechner. Für längere Rechnungen mit Wurzeln, Potenzen und Klammern gibt es den wissenschaftlichen Taschenrechner.
Häufige Fragen
Wie berechne ich eine Wurzel ohne Wurzeltaste?
Mit Potenzen: Die n-te Wurzel aus x ist x hoch (1 ÷ n). Die Quadratwurzel aus 50 ist also 50^0,5 ≈ 7,0711.
Was ist die Wurzel aus 2?
√2 ≈ 1,41421356. Die Zahl ist irrational, ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht.
Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
Bei geraden Wurzeln wie der Quadratwurzel nicht, jedenfalls nicht in den reellen Zahlen. Ungerade Wurzeln gehen: Die Kubikwurzel aus −27 ist −3.
Wie vereinfache ich √72?
72 = 36 × 2. Da √36 = 6, ist √72 = 6·√2.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
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