Quadratische Gleichungen: die abc-Formel
Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Die Lösungen liefert die abc-Formel, in Süddeutschland und Österreich auch Mitternachtsformel genannt:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = b² − 4ac. Sie entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt:
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
- D = 0: genau eine (doppelte) Lösung, die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt.
- D < 0: keine reelle Lösung, aber zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Beispiel: x² − 2x − 8 = 0, also a = 1, b = −2, c = −8. D = 4 + 32 = 36, √36 = 6. x = (2 ± 6) ÷ 2, also x₁ = 4 und x₂ = −2. Das ist die Voreinstellung im Rechner oben. Probe: 4² − 2 × 4 − 8 = 0.
Die pq-Formel
In Norddeutschland wird oft zuerst durch a geteilt. Aus x² + px + q = 0 mit p = b ÷ a und q = c ÷ a wird
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Im Beispiel ist p = −2 und q = −8: x = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± 3. Beide Formeln liefern immer dasselbe Ergebnis, die pq-Formel ist nur bequemer, wenn a schon 1 ist. Der Rechner zeigt beide Wege.
Komplexe Lösungen
Ist die Diskriminante negativ, gibt es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Mit der imaginären Einheit i (i² = −1) findet man trotzdem zwei Lösungen. Für x² + 2x + 5 = 0 ist D = 4 − 20 = −16 und √−16 = 4i, also x = (−2 ± 4i) ÷ 2 = −1 ± 2i. In der Schule heißt die Antwort oft „keine Lösung“, gemeint ist dann: keine reelle.
Scheitelpunkt und Linearfaktoren
Der Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c liegt bei x = −b ÷ (2a), also genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Im Beispiel bei x = 1 mit y = 1 − 2 − 8 = −9, also S(1 | −9). Kennst du die Lösungen, kannst du die Gleichung auch als Produkt schreiben: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). Der Satz von Vieta liefert eine schnelle Kontrolle: x₁ + x₂ = −p und x₁ × x₂ = q.
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ax + b = c löst du durch Umstellen: erst b abziehen, dann durch a teilen, also x = (c − b) ÷ a. Bei 3x + 4 = 19 ist x = 15 ÷ 3 = 5. Ist a = 0, gibt es entweder keine Lösung (wenn b ≠ c) oder unendlich viele (wenn b = c). Steht in der quadratischen Form a = 0, behandelt der Rechner die Gleichung automatisch als lineare Gleichung bx + c = 0.
Häufige Fragen
Wann benutze ich die pq-Formel und wann die abc-Formel?
Die pq-Formel setzt voraus, dass vor x² eine 1 steht. Sonst teilst du zuerst durch a oder nimmst direkt die abc-Formel. Das Ergebnis ist gleich.
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Dann hat die Gleichung keine reelle Lösung, die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Es gibt aber zwei komplexe Lösungen.
Was ist die Mitternachtsformel?
Ein anderer Name für die abc-Formel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Man soll sie angeblich auch um Mitternacht geweckt aufsagen können.
Wie mache ich die Probe?
Setze jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn auf beiden Seiten dasselbe herauskommt, stimmt die Lösung.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
Geprüft am: