Was sind ggT und kgV?
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist. Den ggT brauchst du zum Kürzen von Brüchen, das kgV als Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Beispiel (Voreinstellung): 12, 18 und 30. Zerlegt in Primfaktoren: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. Gemeinsam sind eine 2 und eine 3, also ggT = 2 · 3 = 6. Für das kgV nimmst du jeden Primfaktor in seiner höchsten Potenz: 2² · 3² · 5 = 180.
ggT mit der Primfaktorzerlegung
Zerlege jede Zahl in Primfaktoren. Der ggT ist das Produkt der Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten. Kommt kein Primfaktor überall vor, ist der ggT 1, und die Zahlen heißen teilerfremd.
kgV mit der Primfaktorzerlegung
Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, jeweils mit dem größten Exponenten. Bei zwei Zahlen gibt es eine Abkürzung: kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b). Für 84 und 126 ist der ggT 42, also kgV = 84 × 126 ÷ 42 = 252.
Der euklidische Algorithmus
Bei großen Zahlen ist die Primfaktorzerlegung mühsam. Schneller ist der euklidische Algorithmus: Teile die größere Zahl durch die kleinere und ersetze die größere durch den Rest. Wiederhole, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
| Schritt | Rechnung | Rest |
|---|---|---|
| 1 | 126 ÷ 84 = 1 | 42 |
| 2 | 84 ÷ 42 = 2 | 0 |
| Ergebnis | ggT(126, 84) = 42 |
Der Algorithmus ist schon über 2.000 Jahre alt und steht in Euklids „Elementen“. Er braucht selbst bei sehr großen Zahlen nur wenige Schritte, weil der Rest bei jeder Division mindestens auf die Hälfte schrumpft, spätestens nach zwei Runden.
Bei mehr als zwei Zahlen rechnest du schrittweise: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c). Genauso geht es beim kgV. Der Rechner macht genau das intern und zeigt dir den euklidischen Rechenweg für die ersten beiden Zahlen.
Wofür braucht man ggT und kgV?
- Brüche kürzen: 18/30 durch den ggT 6 geteilt ergibt 3/5. Das übernimmt auch der Bruchrechner.
- Hauptnenner finden: Für 1/12 + 1/18 ist der Hauptnenner kgV(12, 18) = 36.
- Taktungen: Fährt ein Bus alle 12 und ein anderer alle 18 Minuten von derselben Haltestelle, fahren sie alle kgV(12, 18) = 36 Minuten gleichzeitig ab.
- Aufteilen ohne Rest: 84 Äpfel und 126 Birnen lassen sich auf höchstens ggT = 42 Körbe gleich verteilen, mit je 2 Äpfeln und 3 Birnen.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den ggT?
Mit der Primfaktorzerlegung (gemeinsame Faktoren mit kleinstem Exponenten) oder mit dem euklidischen Algorithmus (fortgesetzte Division mit Rest).
Wie berechnet man das kgV?
Alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten multiplizieren. Bei zwei Zahlen gilt kgV = a × b ÷ ggT.
Was bedeutet teilerfremd?
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist, zum Beispiel 8 und 15. Ihr kgV ist dann einfach ihr Produkt.
Was ist der ggT von 12 und 18?
6, denn 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3² haben die gemeinsamen Faktoren 2 und 3. Das kgV ist 36.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
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