Welche Formel gilt wann?
In der Kombinatorik entscheiden zwei Fragen über die Formel: Spielt die Reihenfolge der ausgewählten Elemente eine Rolle, und darf dasselbe Element mehrfach gezogen werden? Daraus ergeben sich vier Fälle.
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung | |
|---|---|---|
| Reihenfolge wichtig (Variation) | n! ÷ (n − k)! | nk |
| Reihenfolge egal (Kombination) | n! ÷ (k! × (n − k)!) | (n + k − 1)! ÷ (k! × (n − 1)!) |
| alle n anordnen (Permutation) | n! | n! ÷ (k₁! × k₂! × …) |
Dabei ist n! (sprich „n Fakultät“) das Produkt 1 × 2 × 3 × … × n, und 0! ist als 1 festgelegt. Den Ausdruck n! ÷ (k! × (n − k)!) nennt man Binomialkoeffizient und schreibt ihn als „n über k“.
Kombination ohne Wiederholung: das Lottobeispiel
Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, keine Kugel kommt zweimal vor, und es ist egal, in welcher Reihenfolge sie fallen. Das ist eine Kombination ohne Wiederholung.
Beispiel: 49 über 6 = 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816. Das ist die Voreinstellung im Rechner oben. Mit Reihenfolge wären es die 10.068.347.520 Variationen aus dem Zähler.
Der Bruch zeigt auch, warum man durch k! teilt: Jede Auswahl von 6 Kugeln kann auf 720 verschiedene Arten angeordnet werden. Wenn die Reihenfolge egal ist, zählen diese 720 Anordnungen nur einmal. Wie die Gewinnklassen mit Superzahl berechnet werden, zeigt der Lotto-Wahrscheinlichkeitsrechner.
Variation mit Wiederholung: PINs und Passwörter
Eine vierstellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9 hat 104 = 10.000 Möglichkeiten: Die Reihenfolge zählt (1234 ist nicht 4321), und Ziffern dürfen sich wiederholen. Ein Passwort aus 8 Zeichen, gebildet aus 62 Zeichen (Groß- und Kleinbuchstaben plus Ziffern), hat 628 = 218.340.105.584.896 Varianten. Hier wird sichtbar, wie schnell die Zahlen wachsen.
Kombination mit Wiederholung: Eiskugeln
Du wählst 3 Kugeln Eis aus 10 Sorten, doppelte Sorten sind erlaubt, und im Becher ist die Reihenfolge egal. Die Formel lautet (n + k − 1) über k, hier also 12 über 3 = 220 Becher. Dass man n + k − 1 nehmen muss, sieht man mit dem Trick „Sterne und Striche“: 3 Kugeln (Sterne) werden durch 9 Trennstriche auf 10 Sorten verteilt, und man wählt, welche 3 der 12 Plätze Sterne sind.
Permutation: alle Elemente anordnen
Ist k = n, ordnest du alle Elemente an. 5 Personen können sich auf 5! = 120 Arten in eine Reihe stellen, 10 Bücher auf 3.628.800 Arten ins Regal. Der Rechner zeigt deshalb immer auch n! an. Ab 25! hat das Ergebnis mehr als 24 Stellen, dann siehst du die Zahl in Zehnerpotenz-Schreibweise und die Anzahl der Stellen. Gerechnet wird intern exakt mit ganzen Zahlen.
Typische Fehler
- Bei Mannschaftsaufstellungen mit festen Positionen zählt die Reihenfolge, bei einer bloßen Auswahl von Spielern nicht.
- Ohne Wiederholung muss k kleiner oder gleich n sein. Mit Wiederholung darf k auch größer als n sein.
- „Mindestens einmal“-Fragen löst man meist über das Gegenereignis, nicht durch Abzählen aller Fälle.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Variation?
Bei der Variation zählt die Reihenfolge, bei der Kombination nicht. Aus 3 Elementen gibt es 6 Variationen der Länge 2, aber nur 3 Kombinationen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 49?
49 über 6 = 13.983.816 Kombinationen. Mit der Superzahl (0 bis 9) sind es 139.838.160.
Was ist 0 Fakultät?
0! ist als 1 definiert. Es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen, und nur so funktionieren die Formeln für k = 0 und k = n.
Wie berechne ich n über k?
n! geteilt durch k! mal (n − k)!. Praktischer: k Faktoren von n abwärts multiplizieren und durch k! teilen, z. B. 5 über 2 = 5 × 4 ÷ 2 = 10.
Hinweis: Die Seite und das Ergebnis des Rechners dienen nur zur Information und sind keine Rechts-, Steuer- oder Finanzberatung.
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